Hier hilft die Mehrheitsregel nicht weiter, denn jede Alternative wird von jeweils einer Person als erste Präferenz genannt. Auch wenn man die Positionen der einzelnen Alternativen miteinbezieht, kommt man zu keiner Lösung: Ordnet man diesen Werte zu (1, 2, 3) so erreichen alle Alternativen den Gesamtwert von 1+2+3 = 6.
Und das Gedankenspiel ist mehr als ein interessanter Spezialfall. Denn analog ist eine solche Situation mit jeder Anzahl von Alternativen und Gruppenmitgliedern denkbar, solange alle möglichen Präferenzordnungen in der Gruppe vorkommen. Damit wird aus der Knobelübung ein Paradoxon mit praktischer Relevanz: Wie soll eine Demokratie funktionieren, wenn sie regelmäßig Entscheidungen hervorbringt, die für viele Menschen unbefriedigend sind? Und wie soll die Ökonomie überhaupt funktionieren, wenn kooperatives Handeln ineffiziente Ergebnisse ergibt?
Materielle Sorgen
Dass Arrow überhaupt dazu kam, sich mit dieser wissenschaftlichen Frage auseinanderzusetzen, war durchaus überraschend. Denn nur fünf Jahre vor seiner bahnbrechenden Veröffentlichung hatte er der Wissenschaft den Rücken gekehrt. Arrow, 1921 in New York geboren, war das Kind rumänischer Auswanderer. Er studierte zunächst Mathematik. Mit 22 Jahren, als er während des Zweiten Weltkriegs bei der Luftwaffe arbeitet, veröffentlichte er seine erste wissenschaftliche Publikation. Es ging um die Auswertung von Wetterprognosen. Arrow fand durchaus Spaß daran, doch als der Krieg vorbei war, plagten ihn materielle Sorgen. So begab er sich auf die Suche nach einem sicheren Job und bewarb sich um eine Stelle als Mathematiklehrer. Doch er wurde abgelehnt, halb New York strebte zu dieser Zeit nach einer soliden Beamtenlaufbahn. Also nahm Arrow die Karriere an der ökonomischen Fakultät der Universität von Columbia wieder auf – und wurde innerhalb weniger Jahre zum Star der Zunft.
Denn nachdem er das Paradoxon entdeckt hatte, suchte er nach demokratischen Auswegen, also nach Entscheidungsregeln, die keine einzelne Meinung diskriminieren und zu eindeutigen Ergebnissen führen. Dafür entwarf er Mindeststandards in Form von vier Regeln.
Unmittelbar einleuchtend ist dabei das Prinzip der Nichtdiktatur: Die Wahl darf nicht durch ein einzelnes Individuum bestimmt werden, sonst erübrigt sich der Begriff Wahl. In eine ähnliche Stoßrichtung geht das Prinzip der individuellen Souveränität, wonach es keinem Abstimmungsteilnehmer untersagt sein darf, eine bestimmte Alternative auszuwählen.
Daneben stellt Arrow drei logische Anforderungen an die Entscheidung: Wenn alle Individuen eine Alternative einer anderen vorziehen, muss diese auch in der kollektiven Entscheidung bevorzugt werden; die Präferenzen in Bezug auf zwei Variablen dürfen nicht von der Ausprägung einer dritten, irrelevanten, Alternative beeinflusst sein; in den Präferenzordnungen dürfen keine Zirkelschlüsse auftreten, wenn also eine Person A besser findet als B und B besser als C, kann sie nicht C gegenüber A vorziehen.